1. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 YX -1 0 1 -1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0
(I)由概率分布的性质知:a+0.2+0.1+b+0.2+0.1+c=1,即:a+b+c=0.4…①由(X,Y)可写出X的边缘概率分布为: X -1 0 1 P a+0.2 b+0.3 c+0.1故:EX=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2,即:a-c=0.1…②又因为:0.5=P{ Y≤0|X≤0}=P{X≤0,Y≤0}P{X≤0}=a+b+0.1a+b+0.5,整理即得:a+b=0.3…③将①,②,③联立解方程组得:a=0.2,b=0.1,c=0.1.(II)Z的可能取值为:-2,-1,0,1,2,则:P{Z=-2}=P{X+Y=-2}=P{X=-1,Y=-1}=0.2,P{Z=-1}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=-1}=0.1,P{Z=0}=P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=0.3,P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.3,P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1.故Z的概率分布为: Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(Ⅲ) P{X=Z}=P{X=X+Y}=P{Y=0}=0+0.1+0.1=0.2.
2. 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0,1)
p{x+y<=z}=p{y<=z-x}x有三个取值,分别代入,因为x的概率分布为p{x=i}=1/3
(i=-1,0,1),所以结果为(1/3)*(p{y<=z+1}+p{y<=z}+p{y<=z-1})
3. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布列为
4. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 且P(X=2)=1/2,
P(X=2)=1/2
所以b+1/4=1/2
得到b=1/4
而
1/4+a+b+1/4=1
所以解得a=1/4
5. 设随机变量X,Y相互独立,且都服从正态分布N(0,σ^2),求Z=(X^2+Y^2)^0.5的概率
Z的分布叫做瑞利(Rayleigh)分布,具体求法:
f(x,y)=[1/(2πσ^2)]*e^-[(x^2+y^2)/2σ^2]
当z<0时,显然有f(z)=0
当z>=0时,有:
F(z)=∫∫f(x,y)dxdy,其中积分区域为x^2+y^2<=z^2
做变换x=r*sint,y=r*cost,则
F(z)=∫{0到2π}dt ∫{0到z}) [1/(2πσ^2)]*e^-[r^2/2σ^2] dr
=∫{0到z}) e^-[r^2/2σ^2] d(r^2/2σ^2)
=1-e^(-z^2/2σ^2)
接下来求概率密度就是求导,得:
f(z)=F'(z)=(z/σ^2)*e^(-z^2/2σ^2) (z>0)
6. 设X,Y是相互独立的随机变量,且都在〔0,1〕上服从均匀分布,求随机变量Z=max{X,Y}的概率
给你知识点拓展一下吧。题目:设X与Y是相互独立的随机变量,且在[0,1]上服从均匀分布,试分别求随机变量ξ=max{X,Y},ζ=min{X,Y}的概率密度。解题思路:均匀分布肯定是要分段计算的,而且定义域要覆盖整个实数集合。解答过程如下图:
7. 设随机变量X的概率分布为P{X=2}=P{X=3}=1/2在给定X=i的条件下,随机变量Y服从
先利用全概率公式求出Y的分布函数,求导得出概率密度后,再由公式求出Y的期望。
8. 设随机变量x与y相互独立,而且都服从正态分布N(0,1),计算概率p(x^2+y^2<=1)
标准正态分布 y=1/根号(2π ) exp(-x^2/2)
x与y相互独立
联合分布密度 y=1/2π exp(-(x^2+y^2)/2)
概率p(x^2+y^2<=1)
联合分布密度 在半径为1的圆上求积分
化为极坐标
S(0,2π)doS(0,1)1/2π r exp(-r^2/2)dr=-1/2πS(0,2π)doS(0,1) exp(-r^2/2)d(-r^2/2)=1/2π(1-exp(-1/2))S(0,2π)do=1-exp(-1/2)=1-1/根号e